写在前面

对全增量$\Delta z$凑项

由一元函数的Lagrange中值定理

其中$(\xi 为中值，0<\xi<1).$ 得到

其中$(0<\theta_{1},\theta_{2}<1).$ 这是微分中值定理，其适用条件这里省略。 微分中值定理建立了函数增量与偏导数之间的联系。

• （推论）二元函数可偏导且两个偏导数都恒等于零，则该二元函数为一个常数。
  • 想要证明多元函数等于常数时，我们常常使用这个方法。
• （推论）二元函数可偏导且两个偏导数都有界，则该二元函数连续。

定义

对于一元函数$y=f(x)$，若在点$x_{0}$处该函数的增量可以表示成

则我们称$y=f(x)$在点$x_{0}$处可微。
其微分记作

设二元函数$z = f(x,y)$在点$P_{0}(x_{0},y_{0})$的某邻域内有定义，若函数在点$P_{0}(x_{0},y_{0})$的全增量

可以表示为

的形式，则称$f(x,y)$在$P_{0}(x_{0},y_{0})$处可微。
其全微分记作

直观理解 “可微”means“增量可以表示为自变量增量的线性部分加上高阶无穷小。”

证明函数在某点可微 此处以$(0,0)$点为例： 欲证函数在$(0,0)$点可微，只需证

$$\displaystyle \lim_{(\Delta x,\Delta y) \to (0,0)}\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)\Delta x-f_{y}(0,0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$$

一些关系

• 对于一元函数：在某一点可导的充要条件是可微。
• 若$f(x,y)$在$P_{0}(x_{0},y_{0})$处可微，则$f(x,y)$在$P_{0}(x_{0},y_{0})$处连续。
• 若$f(x,y)$在$P_{0}(x_{0},y_{0})$处可微，则$f(x,y)$在$P_{0}(x_{0},y_{0})$处可偏导，且有$$dz =A\Delta x+B\Delta y $$$$=f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x +f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y$$$$=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
  • 我们规定，自变量的微分$dx=\Delta x,dy=\Delta y$
  • 第三行就是全微分的计算公式。
• 连续<=/=>可偏导
• 可微 ==>连续且可偏导 （反之不成立）
• 偏导数存在且都连续 ==>可微（反之不成立）
• 偏导数存在且都有界 ==>连续（反之不成立）

重要例题

注意：符号$f_{x}(x,y)$与$f'_{x}(x,y)$含义完全相同。 例题：

请分析$f_{x}(x,y)$和$f_{y}(x,y)$在点$(0,0)$处的连续性。

解：
先求函数关于x的偏导数

接下来，欲证$f_{x}(x,y)$在点$(0,0)$处连续，只需证

即只需证

方法一：令$M=\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}},$ 则 $|M|\leqslant \frac{3(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}},$ 当$(x,y)\to (0,0)$时，$|M|\to 0,$ 故$f_{x}(x,y)$在点$(0,0)$处连续。 方法二：因为分母有$x^{2}+y^{2}$所以采用三角换元

则

故$f_{x}(x,y)$在点$(0,0)$处连续。

同理可证$f_{y}(x,y)$在点$(0,0)$处连续。