n维Euclid空间

• n元有序实数组的全体构成的集合： $$ \mathbb{R}^{n}=\left\{ \left ( x_{1},x_{2},\cdot \cdot \cdot ,x_{n} \right )|x_{i}\in \mathbb{R},i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n\right\}$$
• $\mathbb{R}^{n}$ 中的元素有时也用单个字母表示，即$x=\left ( x_{1},x_{2},\cdot \cdot \cdot ,x_{n} \right )$，$x$也称为$\mathbb{R}^{n}$中的一个点。
• $\mathbb{R}^{n}$在线性运算$\lambda x+\mu y=\left (\lambda x_{1}+\mu y_{1} ,\lambda x_{2}+\mu y_{2},\cdot \cdot \cdot ,\lambda x_{n}+\mu y_{n} \right )$下构成一个n维线性空间。
• 两点间的距离定义为$\rho \left ( x，y \right )= \left\| x-y\right\|$

邻域

点 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域（本质是点集），记作：

点 $P_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作

在不需要强调邻域的半径时，常记作 $U\left ( P_{0} \right )$ 或 $\overset{\circ }{U}\left ( P_{0} \right )$.

内点、外点、边界点

边界点既不是内点也不是外点，它可能属于E也可能不属于E。边界点的全体称为E的边界，记作 $\partial E$ .

开集与区域

• 设点集 $E\subset \mathbb{R}^{2}$ ，若E中的每一点都是它的内点，则称E为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的开集。
• 若E为连通的开集，则称E为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的开区域，简称区域。
• 称$\bar{E}$为闭区域，即$\bar{E}=E \cup \partial E$

有界集与无界集

聚点

设点集 $E\subset \mathbb{R}^{2}$ ，点$P_{0} \in \mathbb{R}^{2}$. 若$\forall \varepsilon >0$，在$U\left ( P_{0}, \varepsilon \right)$内除了点$P_{0}$至少还包含$E$的一个点，则称$P_{0}$为$E$的聚点。 注意：边界点不一定是聚点；聚点不一定属于$E$.

闭集

设点集 $E\subset \mathbb{R}^{2}$ ，若$E$的所有聚点都属于$E$，则称$E$为$\mathbb{R}^{2}$的闭集。 注意：

• 闭区域一定是闭集。
• 闭集不一定是闭区域（闭集需要额外满足连通性才能成为闭区域）。

多元函数

二元函数的几何表示

其几何图形通常是空间的一张曲面。 在Oxy面上的投影就是定义域。