连续函数的定义

• 与一元函数一样，仍用极限值等于函数值来定义多元函数的连续性。
• （定义）设函数$f(x,y)$在点$P_{0}(x_{0},y_{0})$的某个邻域$U(P_{0})$内有定义。若$$ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})$$且对于$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta >0$，使得当$$\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta $$时，有$$\left | f(x,y)-f(x_{0}-y_{0})\right |<\varepsilon $$，则称函数$f(x,y)$在点$P_{0}$连续。
• 理解：在某一点连续需要满足三个条件
  1. 在该点极限存在；
  2. 在该点函数有定义；
  3. 该点的函数值等于极限值。
• 若函数在定义域D上的每一点都连续，则称该函数是D上的连续函数。

连续函数的运算法则

• 四则运算法则
• 复合函数的连续性

多元函数关于单变量的连续性

• （方法）固定一个变量，则函数变成另一个变量的一元函数。
• （结论）若$f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处连续，则$f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处分别关于变量x和y连续。
• （结论）反之，若$f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处分别关于变量x和y连续，则$f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处不一定连续。

有界闭区间上连续函数的性质

• 有界性定理： 若函数在有界闭区域D上连续，则该函数在D上有界。
• 最值定理： 若函数在有界闭区域D上连续，则该函数在D上必有最大值和最小值。
• 介值定理： 若函数在有界闭区域D上连续，则该函数在D上必可以取得介于最大值和最小值之间的任意值。
• 一致连续性定理： 若函数在有界闭区域D上连续，则该函数在D上一致连续。

多元初等函数的连续性

• 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的。

证明多元函数不连续或证明多元函数极限不存在的常用方法：

• 令$(x,y)$沿着某一条路径趋近于极限点或极限，然后考察该极限是否与路径有关或者是否等于函数值。