方向导数的定义

设函数$z=f(x,y)$在点$P_{0}(x_{0},y_{0})$的某邻域$U(P_{0})$内有定义，$\vec{l}$为非零向量，$\vec{e}_{l}=(cos\alpha,cos\beta)$是与$\vec{l}$同方向的单位向量. 若极限

存在，则称此极限值$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0})}$为函数$z=f(x,y)$在点$P_{0}$处沿方向$\vec{l}$的方向导数.

• 特别指出，这里的极限是单侧极限，这一点与偏导数概念是有区别的。
• 沿x轴正向（取$\vec{e}_{l}=(1,0)$）的方向导数为$\frac{\partial f}{\partial x}$；沿x轴负向（取$\vec{e}_{l}=(-1,0)$）的方向导数为$-\frac{\partial f}{\partial x}$.
• 若只用一个角度来表示方向，可以用极角$\theta$，令$cos\alpha=cos\theta,cos\beta=sin\theta,(0\leqslant \theta < 2\pi).$
• 若函数在该点沿x轴正向和负向的方向是导数都存在，偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$也不一定存在。更一般地，即使沿任意方向的方向导数都存在，也不一定可偏导。
• 可偏导无法推出沿任意方向的方向导数都存在，仅能推出沿坐标轴方向的方向导数存在。

方向导数的几何意义

过直线$l$且平行于$z$轴的平面与曲面 $z = f(x, y)$ 的交线为$L$。方向导数是函数$f(x, y)$在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处沿方向 $\vec{\boldsymbol{e}_l} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 的变化率。从几何上看，它表示曲线 $L$ 在点$(x_{0}, y_{0})$处的切线相对于方向$\vec{\boldsymbol{e}_l}$的斜率$\tan\theta$.

方向导数的计算

可微不是方向导数存在的必要条件，可微是方向导数存在的充分条件。 方向导数可以通过偏导数来计算.

• （定理）设函数$z = f(x,y)$ 在点$P_{0}(x_{0},y_{0})$处可微，$\vec{l}$为任一非零向量，$\vec{e}_{l}= (cos\alpha,cos\beta)$是与$\vec{l}$同方向的单位向量，则函数$f(x,y)$在点$P_{0}$沿方向$\vec{l}$的方向导数存在，且有（方向导数的计算公式） $$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0})}=f_{x}(x_{0},y_{0})cos\alpha +f_{y}(x_{0},y_{0})cos\beta .\tag{2}$$

方向导数的定义和计算公式的推广

该计算公式可以推广到三元及以上的函数： 设$l$是空间上非零向量，其方向余弦为$cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma$，则函数$u=f(x,y,z)$在点$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$处沿方向$\vec{l}$的方向导数

如果$u=f(x,y,z)$在点$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$处可微，则

梯度

函数在给定点处沿不同方向的方向导数一般是不一样的，那么函数沿什么方向的方向导数最大呢？为此，引入梯度的概念. （定义）设函数$z=f(x,y)$在点$P_{0}$处有连续的偏导数，则称向量

为函数$z=f(x,y)$在点$P_{0}$处的梯度（gradient）. 则方向导数的计算公式$(2)$可写作

即，函数$z=f(x,y)$在点$P_{0}$处沿方向$\vec{l}$的方向导数等于函数在该点的梯度与单位向量的数量积。 化简$(6)$式

其中$\theta$是向量$\nabla f(x_{0},y_{0})$与向量$\vec{l}$的夹角。

函数$z=f(x,y)$在点$P_{0}$处沿梯度$\nabla f(x_{0},y_{0})$方向的方向导数最大，沿负梯度方向的方向导数最小。最大值为$|\nabla f(x_{0},y_{0})|$，最小值为$-|\nabla f(x_{0},y_{0})|.$ 等价表述为：方向导数增大最快的方向是梯度方向，增加最慢的方向是垂直于梯度的方向。

梯度的推广

将上述概念和结论推广到三元函数：
设函数$u=f(x,y,z)$在点$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$处有连续的偏导数，则它在点$P_{0}$处的梯度为

当$u=f(x,y,z)$在点$P_{0}$处可微时，它在点$P_{0}$处沿方向$\vec{l}$的方向导数为

梯度的性质

1. $\nabla (c_{1}u+c_{2}v)=c_{1}\nabla u+c_{2}\nabla v$，$c_{1},c_{2}$为常数；
2. $\nabla(uv)=v\nabla u+u\nabla v ;$
3. $\nabla(\frac{u}{v})=\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^{2}},v\neq 0;$
4. $\nabla f(u)=f'(u)\nabla u$，$f$是可微函数。

梯度的几何意义

将函数$z=f(x,y)$与平面$z=C$形成的交线在Oxy平面上的投影曲线记作$L$，则$L$称为函数$f$的等值线。 在等值线上取任意一点$P$，若$f_{x},f_{y}$不同时为0，则$P$点处的梯度为

梯度的方向垂直于等值线的切线，指向函数增大的方向。

Proof
因为曲线$L$是隐式定义的，所以$P$点处的等值线的切线的斜率为$k=\frac{dy}{dx}=-\frac{f_{x}}{f_{y}}$，则切线的方向向量为$\vec{s}=(1,k)$，所以$\vec{s} \cdot \overrightarrow{\nabla}f=f_{x}+(-\frac{f_{x}}{f_{y}})f_{y}=0$，即梯度的方向垂直于等值线的切线。

哈密顿（Hamilton）算子

• 在三维直角坐标系中：$\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$ 在二维空间中：$\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$ 这种形式使得它可以像向量一样参与 “点积”、“叉积” 等运算，但这些运算本质上是微分操作，而非单纯的向量代数运算。
• 哈密顿算子的核心是其微分功能，它必须作用于函数（标量场或向量场）后才能体现意义：
  • 梯度（作用于标量场 f）：$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$，其结果是一个向量，表示标量场的空间变化率。（因此，梯度的运算法则与求导的运算法则基本相似。）
  • 散度（作用于向量场 F）：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$结果是一个标量，表示向量场的 “发散” 程度。
  • 旋度（作用于向量场 F）：$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$ 结果是一个向量，表示向量场的 “旋转” 特性。
• 例如，当写出 $\nabla f$ 时，其意义不是 “向量 ∇ 与标量 f 相乘”，而是 “对 f 求梯度”；$\nabla \cdot \mathbf{F}$ 也不是 “向量点积”，而是 “对向量场 $\mathbf{F}$ 求散度”。
• 这种 “向量形式” 的设计，使得它在数学和物理（如电磁学、流体力学）中成为高效的工具，既能利用向量运算的直观性，又能实现微分操作的功能。
• 由上方定义(5)，我们知道$\nabla f$本质是个向量，为了避免混淆和起到提醒作用，一般手写作 $\overrightarrow{\nabla}f$.

总结

本文介绍了方向导数和梯度，并且将方向导数用梯度进行了表示：